Summary. EuclidOfAlexandria. Elements. Formaldivisionsofpropositions. BookVII.

Book7.

1)   *.

a)    For*, let*, Isaythat*.

b)   Forif*, *.

c)    Let*, andlet*, let*, let*, andlet*.

d)   Sincethen*, therefore*.

e)    But*, therefore*.

f)     But*, therefore*.

g)    But*, therefore*.

h)   But*, therefore*.

i)     But*, therefore*, whichisimpossible.

j)     Therefore*, therefore*.

k)    QED.

2)   Given*, tofind*.

a)    Let*.

b)   Thusitisrequiredtofind*.

c)    If*, *.

d)   Anditismanifestthat*.

e)    Butif*, *.

f)     For*, otherwise*, whichiscontrarytothehypothesis.

g)    Therefore*.

h)   Nowlet*, let*, andlet*.

i)     Sincethen*, therefore*.

j)     But*, therefore*.

k)    But*, therefore*.

l)     But*, therefore*.

m)  Therefore*.

n)   Isaynextthat*.

o)    Forif*, *.

p)   Let*, andlet*.

q)   Nowsince*, while*, *.

r)    But*, therefore*.

s)    But*, therefore*.

t)     But*, therefore*, whichisimpossible.

u)   Therefore*, therefore*.

v)    QED.

w)  Porism. Fromthisitismanifestthatif*, *.

3)   Given*, tofind*.

a)    Let*, thusitisrequiredtofind*.

b)   Forlet*, then*.

c)    Firstlet*.

d)   But*, therefore*, therefore*.

e)    Isaythat*.

f)     Forif*, *.

g)    Letsuch*.

h)   Sincethen*, *, therefore*.

i)     But*, therefore*, whichisimpossible.

j)     Therefore*, therefore*.

k)    Nextlet*, Isayfirstthat*.

l)     Forsince*, *.

m)  Now*.

n)   But*, therefore*, therefore*.

o)    Letthen*.

p)   Thensince*, *, therefore*.

q)   But*, therefore*, therefore*.

r)    Isaynextthat*.

s)    Forif*, *.

t)     Let*.

u)   Nowsince*, *, therefore*.

v)    But*, therefore*.

w)  And*, therefore*, therefore*.

x)    But*, therefore*, whichisimpossible.

y)    Therefore*, therefore*.

4)   *.

a)    Let*, andlet*, Isaythat*.

b)   For*.

c)    Firstlet*.

d)   Thenif*, *, sothat*.

e)    Nextlet*, then*.

f)     Ifnow*.

g)    Butifnot*, let*, andlet*.

h)   Nowsince*, *.

i)     But*, therefore*, sothat*.

j)     Therefore, etc.

k)    QED.

5)   If*, *.

a)    Forlet*, and*, Isaythat*.

b)   Forsince*, therefore*.

c)    Let*, and*, then*.

d)   Andsince*, and*, therefore*.

e)    Forthesamereason*.

f)     Therefore*.

g)    Therefore*.

h)   Therefore*.

i)     QED.

6)   If*, *.

a)    Forlet*, and*, Isaythat*.

b)   Forsince*, *, therefore*.

c)    Let*, and*, thus*.

d)   Andsince*, therefore*.

e)    Forthesamereason*.

f)     Therefore*.

g)    QED.

7)   If*, *.

a)    Forlet*, Isaythat*.

b)   For*,.

c)    Nowsince*, therefore*.

d)   But*, therefore*, therefore*.

e)    Let*, therefore*.

f)     Nowsince*, while*, therefore*.

g)    But*, therefore*.

8)   If*, *.

a)    Forlet*, Isaythat*.

b)   Forlet*.

c)    Therefore*.

d)   Let*, and*, thus*.

e)    Nowsince*, while*, therefore*.

f)     Let*.

g)    Therefore*, therefore*.

h)   Againsince*, while*, therefore*.

i)     Let*.

j)     Therefore*, therefore*.

k)    But*, therefore*.

l)     But*, and*, therefore*.

m)  QED.

9)   If*, *.

a)    Forlet*, Isaythat*.

b)   Forsince*, therefore*.

c)    Let*, and*, thus*.

d)   Nowsince*, and*, while*, therefore*, sothat*.

e)    But*, therefore*.

f)     QED.

10)         If*, *.

a)    For*, Isaythat*.

b)   Forsince*, therefore*.

c)    Let*, and*, thus*.

d)   Nowsince*, alternatelyalso*.

e)    Forthesamereasonalso*, sothat*.

f)     QED.

11)         If*, *.

a)    As*, solet*, Isaythat*.

b)   Since*, *, therefore*.

c)    Therefore*.

12)         If*, *.

a)    Let*, sothat*, Isaythat*.

b)   Forsince*, *.

c)    Therefore*.

d)   Therefore*.

e)    QED.

13)         If*, *.

a)    Let*, sothat*, Isaythat*.

b)   Forsince*, therefore*.

c)    Therefore*.

d)   Therefore*.

e)    QED.

14)         If*, *.

a)    Let*, sothat*, Isaythat*.

b)   Forsince*, thereforealternately*.

c)    Againsince*, thereforealternately*.

d)   But*, thereforealso*.

e)    Thereforealternately*.

f)     QED.

15)         If*, *.

a)    Forlet*, andlet*, Isaythat*.

b)   Forsince*, *, therefore*.

c)    Let*, and*.

d)   Thus*.

e)    Andsince*, and*, while*, therefore*.

f)     Thereforealso*, therefore*.

g)    But*, and*.

h)   Therefore*.

i)     Therefore*.

j)     QED.

16)         If*, *.

a)    Let*, andlet*, Isaythat*.

b)   Forsince*, therefore*.

c)    But*, therefore*.

d)   Thereforealternately*.

e)    Againsince*, therefore*.

f)     But*, therefore*.

g)    But*, therefore*.

h)   Therefore*.

i)     QED.

17)         If*, *.

a)    Forlet*, Isaythat*.

b)   Forsince*, therefore*.

c)    But*, therefore*.

d)   Therefore*.

e)    Forthesamereason*, thereforealso*.

f)     Thereforealternately*.

g)    QED.

18)         If*, *.

a)    Forlet*, Isaythat*.

b)   Forsince*, thereforealso*.

c)    Forthesamereasonalso*.

d)   Therefore*.

e)    Therefore*.

f)     QED.

19)         If*, *, andif*, *.

a)    Let*, sothat*, andlet*, andlet*, Isaythat*.

b)   Forlet*.

c)    Sincethen*, *.

d)   Therefore*.

e)    But*, thereforealso*.

f)     Againsince*, butfurther*.

g)    Therefore*.

h)   Butfurther*, thereforealso*.

i)     Therefore*, therefore*.

j)     Againlet*, Isaythat*.

k)    Forwiththesamereason*, therefore*.

l)     But*, and*.

m)  Thereforealso*.

n)   QED.

20)         *.

a)    Forlet*, Isaythat*.

b)   Now*.

c)    Forifpossiblelet*, therefore*.

d)   Therefore*.

e)    Let*, and*, thus*.

f)     Nowsince*, and*, while*, therefore*.

g)    Thereforealso*.

h)   Therefore*.

i)     Therefore*, whichisimpossible, forbyhypothesis*.

j)     Therefore*, therefore*.

k)    And*, therefore*.

l)     QED.

21)         *.

a)    Let*, Isaythat*.

b)   Forifnot*.

c)    Let*.

d)   Sincethen*, therefore*.

e)    Now*.

f)     Therefore*.

g)    Andsince*, therefore*.

h)   Forthesamereason*.

i)     Therefore*, whichisimpossible.

j)     Therefore*.

k)    Therefore*.

l)     QED.

22)         *.

a)    Let*, Isaythat*.

b)   Forif*, *.

c)    Let*, andlet*.

d)   Let*, andlet*.

e)    Since*, therefore*.

f)     Forthesamereason*.

g)    Thus*, therefore*, therefore*, whichisimpossible.

h)   Therefore*.

i)     Therefore*.

j)     QED.

23)         If*, *.

a)    Let*, andlet*, Isaythat*.

b)   Forif*, *.

c)    Let*, andlet*.

d)   Since*, and*, therefore*.

e)    But*, therefore*, whichisimpossible.

f)     Therefore*.

g)    Therefore*.

h)   QED.

24)         If*, *.

a)    Forlet*, andlet*, Isaythat*.

b)   Forif*, *.

c)    Let*, andlet*.

d)   Nowsince*, and*, therefore*.

e)    Let*, therefore*.

f)     Therefore*.

g)    Butfurther*, therefore*.

h)   Butif*, *, therefore*.

i)     But*, and*, therefore*.

j)     But*, therefore*, whichisimpossible.

k)    Therefore*.

l)     Therefore*.

m)  QED.

25)         If*, *.

a)    Let*, andlet*, Isaythat*.

b)   Forlet*.

c)    Since*, therefore*.

d)   Therefore*, therefore*.

e)    But*.

f)     Therefore*.

g)    QED.

26)         If*, *.

a)    Forlet*, andlet*, Isaythat*.

b)   Forsince*, therefore*.

c)    But*, therefore*.

d)   Forthesamereason*.

e)    Therefore*.

f)     Therefore*.

g)    But*.

h)   Therefore*.

i)     QED.

27)         If*, *, andif*, *.

a)    Let*, let*, andlet*, Isaythat*.

b)   Forsince*, and*, therefore*.

c)    Sincethen*, and*, therefore*.

d)   Againsince*, and*, therefore*.

e)    Sincethen*, therefore*.

f)     And*.

g)    Therefore*.

h)   QED.

28)         If*, *, andif*, *.

a)    Forlet*, Isaythat*.

b)   Forif*, *.

c)    Let*, andlet*.

d)   Sincethen*, therefore*.

e)    But*, therefore*, whichisimpossible.

f)     Therefore*, therefore*.

g)    Forthesamereason*.

h)   Therefore*.

i)     Againlet*, Isaythat*.

j)     Forif*, *.

k)    Let*.

l)     Nowsince*, *.

m)  But*, therefore*, whichisimpossible.

n)   Therefore*.

o)    Therefore*.

p)   QED.

29)         *.

a)    Let*, Isaythat*.

b)   Forif*, *.

c)    Let*.

d)   Since*, therefore*.

e)    Nowsince*, therefore*, whichisimpossible.

f)     Therefore*.

g)    Therefore*.

h)   QED.

30)         If*, *.

a)    Forlet*, Isaythat*.

b)   Forlet*.

c)    Now*, therefore*.

d)   And*.

e)    Sincethen*, therefore*.

f)     Further*, therefore*.

g)    Therefore*.

h)   But*, and*, therefore*.

i)     Similarly*.

j)     Therefore*.

k)    QED.

31)         *.

a)    Let*, Isaythat*.

b)   Forsince*, *.

c)    Let*, andlet*.

d)   Nowif*, *.

e)    Let*, andlet*.

f)     Thensince*, *, therefore*.

g)    Andif*, *.

h)   Butif*, *.

i)     Thusif*, *.

j)     Forif*, *, whichisimpossible.

k)    Therefore*.

l)     Therefore*.

m)  QED.

32)         *.

a)    Let*, Isaythat*.

b)   Ifnow*, *.

c)    Butif*, *.

d)   Therefore*.

e)    QED.

33)         Given*, tofind*.

a)    Let*, thusitisrequiredtofind*.

b)   *.

c)    Nowif*, *.

d)   Butifnotlet*, and*, let*.

e)    Therefore*.

f)     Therefore*, therefore*.

g)    Isaynextthat*.

h)   Forif*, *.

i)     Let*, therefore*.

j)     Now*, therefore*.

k)    Andsince*, therefore*.

l)     Forthesamereason*.

m)  Therefore*.

n)   Nowsince*, therefore*.

o)    Forthesamereason*.

p)   Therefore*.

q)   Therefore*.

r)    But*, therefore*.

s)    And*, whichisimpossible, forbyhypothesis*.

t)     Therefore*.

u)   Therefore*.

v)    QED.

34)         Given*, tofind*.

a)    Let*, thusitisrequiredtofind*.

b)   Now*.

c)    Firstlet*, andlet*, thereforealso*.

d)   Therefore*.

e)    Isaynextthat*.

f)     Forifnot*.

g)    Let*.

h)   Then*, and*, therefore*, and*, therefore*.

i)     Therefore*.

j)     But*, and*, therefore*.

k)    Andsince*, *, therefore*.

l)     But*, therefore*, whichisimpossible.

m)  Therefore*, therefore*.

n)   Nextlet*, andlet*, therefore*.

o)    Andlet*, therefore*, therefore*.

p)   Isaynextthat*.

q)   Forifnot*.

r)    Let*.

s)    And*, and*.

t)     Therefore*. and*.

u)   Therefore*, therefore*.

v)    But*.

w)  Thereforealso*.

x)    But*, and*, therefore*.

y)    Andsince*, therefore*.

z)    But*, therefore*, whichisimpossible.

aa) Therefore*.

bb)                  Therefore*.

cc)  QED.

35)         If*, *.

a)    Forlet*, andlet*, Isaythat*.

b)   Forif*, let*.

c)    Nowsince*, and*, therefore*.

d)   But*, therefore*, whichisimpossible.

e)    Therefore*, therefore*.

f)     QED.

36)         Given*, tofind*.

a)    Let*, thusitisrequiredtofind*.

b)   Let*.

c)    Then*.

d)   Firstlet*.

e)    But*, therefore*.

f)     Isaynextthat*.

g)    Forifnot*.

h)   Let*.

i)     Since*, therefore*.

j)     Therefore*.

k)    But*, therefore*, whichisimpossible.

l)     Therefore*, therefore*.

m)  Againlet*, andlet*.

n)   Since*, and*, therefore*.

o)    But*, thereforealso*.

p)   Isaynextthat*.

q)   Forifnot*.

r)    Let*.

s)    Since*, thereforealso*, therefore*.

t)     But*, therefore*.

u)   But*, therefore*, sothat*.

v)    But*, therefore*, whichisimpossible.

w)  Therefore*.

x)    Therefore*.

37)         If*, *.

a)    Forlet*, Isaythat*.

b)   For*.

c)    Since*, and*, therefore*.

d)   Thereforealternately*, therefore*.

e)    But*, therefore*, sothat*.

f)     QED.

38)         If*, *.

a)    Forlet*, andlet*, Isaythat*.

b)   Forsince*, and*, therefore*, therefore*.

c)    Thereforealternately*.

d)   Therefore*.

e)    QED.

39)         Tofind*.

a)    Let*, thusitisrequiredtofind*.

b)   Let*, andlet*.

c)    Therefore*.

d)   But*, therefore*.

e)    Isaynextthat*.

f)     Forifnot*.

g)    Let*.

h)   Since*, therefore*.

i)     But*, therefore*.

j)     And*, whichisimpossible.

k)    Therefore*.

l)     QED.